Приколы для Математиков

Теорема Гёделя о неполноте гласит, что любая достаточно сложная и непротиворечивая формальная система (например, арифметика) содержит истинные утверждения, которые невозможно доказать или опровергнуть средствами самой этой системы. Грубо говоря, внутри такой системы всегда найдутся утверждения, которые истинны, но «недоказуемы», а вторая теорема говорит, что система не может доказать свою собственную непротиворечивость.  

Первая теорема

Суть: 

Если теория непротиворечива, в ней есть истинные утверждения, которые нельзя вывести из аксиом. 

Пример (самореференция): 

Утверждение «Я не доказуемо» в этой системе. Если оно доказуемо, система противоречива. Если оно истинно, но не доказуемо, система неполна. 

Вторая теорема

Суть: 

Непротиворечивая система не может доказать свою собственную непротиворечивость, используя только свои аксиомы. 

Значение: 

Это подорвало программу Гильберта, которая стремилась обосновать всю математику с помощью надежных формальных доказательств, доказывающих непротиворечивость основных систем. 

Основные выводы

Математическое знание не может быть полностью сведено к механическому следованию правилам.

Существуют фундаментальные ограничения формального метода.

Теорема имеет глубокие корни в теории алгоритмов и теории вычислимости. 


Размещено через приложение ЯПлакалъ