Фигура, которая не проходит сама через себя

Три века математики искали форму, которая не сможет пройти через свою копию. Наконец нашли.

Якоб Штайнингер и Сергей Юркевич создали Noperthedron — многогранник с 90 вершинами и 152 гранями. Невозможно просверлить прямой туннель сквозь него так, чтобы через этот туннель прошла его копия. Как ни крути — не получится.

История началась с пари в конце 1600-х. Кто-то поспорил с принцем Рупертом Рейнским, что нельзя просверлить в кубике отверстие для второго такого же кубика. Руперт выиграл. Математик Джон Уоллис доказал: если сверлить вдоль внутренней диагонали, туннель получится достаточно широким.

Потом проверили другие формы. В 1968-м доказали для тетраэдра и октаэдра. За последнее десятилетие нашли проходы через додекаэдр, икосаэдр, футбольный мяч. Свойство Руперта казалось универсальным. Математики предположили: каждый выпуклый многогранник им обладает.

Как это работает? Держите куб над столом, смотрите на тень. Обычная позиция даёт квадрат. Направите угол вверх — шестиугольник. Квадрат помещается внутри шестиугольника. Весь анализ строился на этом — крутишь фигуру, ищешь, где одна тень влезает в другую.

Штайнингер и Юркевич дружат с подростковых лет. Пять лет назад наткнулись на YouTube-видео про куб, проходящий через куб. Влюбились в задачу. Оба ушли из академии, но продолжили решать её вместе.

Они придумали два метода проверки. "Глобальную теорему" для случаев, когда тень торчит значительно. И "локальную" — когда торчит чуть-чуть. Предыдущие кандидаты всегда имели проблему хотя бы с одной тенью. Перелопатили сотни многогранников — ничего не подошло. Тогда создали фигуру сами.

Их алгоритм сгенерировал Noperthedron. Выглядит как пузатая ваза. Разделили пространство на 18 миллионов блоков. Проверили каждый — ни один не дал проход. Доказали, что каждый блок удовлетворяет либо локальной, либо глобальной теореме. Проход невозможен.

Теперь известно точно: фигуры без свойства Руперта существуют.

Источник