Задача о самолёте» обычно формулируется так:
Самолет (реактивный или винтовой) стоит на взлётной полосе с подвижным покрытием (типа транспортёра). Покрытие может двигаться против направления взлёта самолёта, то есть ему навстречу. Оно имеет систему управления, которая отслеживает и подстраивает скорость движения полотна таким образом, чтобы скорость вращения колёс самолёта была равна скорости движения полотна. Вопрос: сможет ли самолёт разбежаться по этому полотну и взлететь?
[править] Взлёт самолёта с точки зрения физики
Двигатели самолёта создают тягу за счёт отбрасывания воздуха или продуктов сгорания топлива. При этом сила тяги, преодолевая действие прочих сил, придаёт самолёту ускорение. Как только скорость самолёта относительно воздуха достигает определённой величины, подъёмная сила, возникающая на крыльях, начинает уравновешивать силу тяжести. Самолёт взлетает.
[править] Причина широкой известности (в Интернете)
Задача знаменита тем, что часто публикуется провокаторами в каком-либо из интернет-форумов с целью поднять флейм. Почти все, кто продолжительное время активно пользуются интернет-форумами, хотя бы раз сталкивались с этой задачей и порождённым ею спором. Чтобы убедиться в широком распространении этой задачи, достаточно воспользоваться каким-либо поисковым сервисом, задав поиск по сочетанию слов «самолёт» и «транспортёр».
Условия задачи в описанной выше постановке неполны и некорректны, что создаёт неоднозначность интерпретации. Эта неоднозначность и является одной из основных причин возникающих споров. Участники спора, как правило, подходят к задаче со некоторым набором допущений и начальных условий, отстаивают тот вариант ответа, который считают правильным в рамках собственной модели, и не задумываются о множественности интерпретаций (либо только делают вид, если хотят поддержать провокацию).
При этом имеет место так называемая цепная реакция, когда обилие комментариев к этой задаче создаёт у участников форума интерес к этой ветке, а затем и желание высказать свою точку зрения.
[править] Скорость вращения и скорость движения. Система отсчёта
1. Физически под скоростью вращения понимается угловая скорость, имеющая размерность, отличную от размерности скорости поступательного движения. Другими словами, они не сравнимы. Поэтому как минимум необходимо выбрать какую-то точку на колесе, чтобы определить её линейную скорость. Например, точку на оси (покоящуюся относительно самолёта), либо нижнюю точку колеса (при отсутствии проскальзывания, покоящуюся относительно транспортёра).
2. Скорость измеряется относительно чего-то. В задаче не сказано, как измеряется скорость. Если скорость транспортёра разумно измерять относительно земли, то скорость самолёта можно измерять как относительно земли, так и относительно транспортёра.
3. Может возникнуть неопределённость, стоит ли сравнивать скорости только по модулю, или же требовать ещё и равенство (или противоположность) направлений.
[править] Направление взлёта
Строго говоря, во время взлёта скорость самолёта может иметь как горизонтальную так и вертикальную составляющую. До отрыва самолёта от земли разумнее говорить о направлении разгона.
Вектор тяги двигателей, вообще говоря, может быть направлен не горизонтально.
Существуют также летательные аппараты с вертикальным взлётом, в том числе и самолёты. Самолёты с вертикальным взлётом могут отрываться от земли при наличии сравнительно небольшой и даже нулевой горизонтальной скорости. Сила тяжести уравновешивается вертикальной составляющей тяги двигателей, а необходимая для образования подъёмной силы горизонтальная скорость набирается уже в воздухе.
[править] Невыполнимость условий
В случае, когда и транспортёр, и самолёт покоятся относительно земли, условие о равенстве скоростей выполняется в широком диапазоне интерпретаций. Но при наличии у самолёта скорости, во многих интерпретациях условие о равенстве скоростей либо становится невыполнимым вообще, либо противоречит утверждению о направленности скорости транспортёра в направлении, обратном разгону. Второе условие можно снять, заметив, что не сказано, что транспортёр не может не двигаться против направления взлёта самолёта, но тогда ускользает смысл его наличия.
[править] Система управления полотном
Не указан алгоритм работы системы управления полотном. В частности, неясно, как поведёт себя автоматика, если ускорение транспортёра приведёт к ещё большему увеличению разницы скоростей. Некоторые участники спора часто предполагают, что в этом случае автоматика будет разгонять транспортёр до максимально возможной скорости.
Действия автоматики, приводящие к росту разницы скоростей, пусть даже в краткосрочной перспективе — в то время, как автоматика должна, наоборот, препятствовать этому — уже выглядят странно. Можно, конечно, предположить, что автоматика действует так с расчётом на то, что самолёт выйдет из строя. Если допустить такое неочевидное поведение автоматики, то в этом случае можно спекулировать бесконечно о результате этого «противостояния», что и имеет место на форумах, так как в условии отсутствуют данные о прочности транспортёра, колёс и т. п.
При этом колёса играют лишь роль опоры о землю, и не создают тяги, как это имеет место, например, для автомобилей.
[править] Примеры различных интерпретаций
[править] Сравниваются угловые скорости колёс и роликов транспортёра
Если допустить равенство угловых скоростей как по модулю, так и по направлению, а также допустить движение транспортёра в направлении разгона самолёта, условие равенства угловых скоростей, при наличии у самолёта скорости, выполняется при любом соотношении диаметров колёс и роликов.
Если считать, что угловые скорости равны по модулю и противоположны по знаку, и транспортёр может двигаться только в направлении, обратном разгону, то условие равенства скоростей, при наличии у самолёта скорости, выполняются, если диаметр колёс самолёта больше диаметра роликов.
[править] Под скоростью вращения колёс подразумевается мгновенная скорость нижней точки колеса
При отсутствии проскальзывания мгновенная скорость нижней точки колеса равна мгновенной скорости транспортёра при любой комбинации скоростей самолёта и транспортёра относительно земли и друг друга. При такой интерпретации транспортёр может быть неподвижным или двигаться с небольшой скоростью в любую сторону, а самолёт — двигаться относительно земли и воздуха и взлетать, не нарушая условия «скорость вращения колёс самолёта равна скорости движения полотна».
[править] Под скоростью вращения колёс подразумевается скорость средней точки (центра) колеса относительно земли
Если считать, что равенство скоростей по модулю, но различие по знаку удовлетворяет условию, то решением будет ситуация, когда самолёт (а вместе с ним и ось) движется со скоростью V, а транспортёр — в противоположную сторону, то есть со скоростью -V.
Если же считать, что скорости транспортёра и самолёта должны быть равны не только по модулю, но и быть направленными в одну сторону — наблюдается рассмотренное противоречие двух условий.
[править] Под скоростью вращения колёс подразумевается скорость средней точки (центра) колеса относительно транспортёра
Равенству скоростей удовлетворяет движение транспортёра со скоростью, равной половине скорости движения самолёта, вдоль направления разгона, что нарушает условие о противоположности направления. Соблюдение сразу двух условий невозможно.
[править] Под скоростью вращения колёс подразумевается линейная скорость движения транспортёра относительно земли в точке касания с колесом (проскальзывания нет)
Строго говоря, из такой формулировки следует, что самолёт, стоя на полотне, разгоняется с 0 до взлётной скорости, а транспортёр остаётся неподвижен. Однако, момент старта может (неявно) опускаться, и считаться, что самолёт въехал на транспортёр с некой скоростью (с неподвижного покрытия). В таком случае движущееся полотно должно разогнаться автоматикой до максимально возможной скорости.
[править] Транспортёр не способен изменить скорость разгоняющегося по его полотну самолёта
Имеются две силы, действующие со стороны транспортёра на самолёт — это сила трения колёс о покрытие, которая ничтожна по сравнению с тягой двигателей (!Но не нулевая, кроме того, есть ещё сопротивление качения в подшипниках колеса!), и сила сопротивления качению вследствие момента инерции колеса, которая зависит от радиуса и массы колеса, а также ускорения, с которым его раскручивает транспортёр — (a -ускорение транспортёра, R -радиус колеса, μ -момент инерции колеса), и теоретически может быть сколь угодно велика. Но для удержания даже самого лёгкого самолёта потребуется поддерживать невероятно большое ускорение ленты транспортёра, причём простейшие расчёты показывают, что в реальных условиях это недостижимо (!Условием задачи не оговорено!, кроме того, ранее произойдёт разрушение самого колеса под действием центробежных сил!). К тому же, в таком случае теоретически сколь угодно велика может быть и мощность двигателей самолёта. Для реального колеса так же должна учитываться сила сопротивления качению вследствие деформации колеса (под весом самолёта и от центробежной силы). Но эта сила так же ничтожна по сравнению с тягой двигателей. Вывод — транспортёр не способен удержать разгоняющийся по нему самолёт (!При соблюдении всех условий задачи способен!). То есть самолёт все-таки, взлетит (!см. выше, если условия задачи выполняются, то не взлетит, если нет, то зависит от того, какие именно.!).
[править] Учёт вязкости воздуха
В реальных условиях, при движении полотна транспортёра навстречу самолёту начнёт двигаться и пограничный слой воздуха, прилегающий к полотну. Набегающий на самолёт воздух создаст два эффекта:
силу лобового сопротивления воздуха, складывающуюся с силой трения качения колёс и дополнительно удерживающую самолёт в покое относительно земли,
подъёмную силу
При некоторой скорости транспортёра скорость вызванного им «ветра» теоретически может стать достаточной для создания подъёмной силы, превышающий вес самолёта. В этом случае самолёт оторвётся от полотна и полетит.
Транспортёр можно рассматривать как «вентилятор», довольно неэффективный из-за сдвига ветра. Вследствие неэффективности обдува самолёта пограничным слоем, подобная схема взлёта является труднореализуемой — транспортёр должен быть достаточно широким и длинным, чтобы увлечь большие массы воздуха, а крылья самолёта (ультралёгкого) должны располагаться как можно ближе к полосе. Тем не менее, в качестве примера такого «микро-самолёта» можно привести магнитную головку, парящую над вращающейся поверхностью жёсткого магнитного диска или диска Бернулли.
[править] Уход от идеальной ситуации
[править] Колёса самолёта будут проскальзывать по полотну транспортёра
В реальности колёса не могут обеспечить идеального сцепления, поэтому скорость вращения колёс будет несколько ниже расчётной. Более того, с увеличением скорости относительно полотна, скольжение будет усиливаться. Как следствие, самолёт не будет покоиться относительно земли. А значит, самолёт вполне может взлететь.
В качестве почти доказательства - видео, отснятое на палубе авианесущего крейсера, где самолет взлетает с неотпущенными тормозами (или не до конца отпущенными тормозами)(виден след от резины на палубе)
http://rutube.ru/tracks/355318.html?v=b764...31154a69c5297ba
yaplakal.com