Горбатые киты VS подсолнухи

фотограф Пит ван ден Бемб который снял с дрона, как горбатые киты в Антарктике рисуют в воде спираль Фибоначчи



10 картинок + текст

Пропорция золотого сечения известна людям уже несколько тысяч лет и всё это время не теряет популярности как в чисто математической среде, так и среди художников, скульпторов, философов, биологов. Золотое сечение можно найти в:

Классической живописи

-Скульптуре
-Архитектуре
-Принципах перспективы и композиции фотографий
-Попорциях человеческого тела
-Ракушках
-Растениях
-Развитии эмбрионов
-Ветвях галактик

И во множестве других, подчас весьма необычных, сфер.

Идея золотого сечения очень проста. Возьмем отрезок, и разделим его на две части Существует единственный способ разделить отрезок на две части с длинами a,b так что отношение длины всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей. В самом деле, пусть длина отрезка c = a+b ; по условию a:b = c:a

Определив Ф := \frac{a}b и немного преобразовав систему, получим квадратное уравнение:

Ф^2 = Ф + 1

У этого уравнения единственный положительный корень


Ф = \frac{(1+\sqrt{5})}2 = 1.6180339887…
Число Ф называется числом Фидия или, попросту, пропорцией золотого сечения.

На заглавной картинке изображен цветок подсолнечника маслянистого - растения, масло из семян которого вы почти наверняка регулярно употребляете в пищу. С точки зрения ботаники, большой красивый цветок подсолнуха называется "соцветием-корзинкой". Желтые лепестки соцветия - видоизмененные листья; они окаймляют корзинку из крошечных желтых цветков, каждому из которых после опыления суждено превратиться в семечко. Рассматривая корзинку подсолнуха, мы можем обнаружить удивительный факт:

Человеческий глаз легко различает, как семена группируются по спиралям - левым и правым. Их число различно. Приложив усилия, можно сосчитать, что в цветке подсолнуха на фотографии 21 спираль идет по часовой стрелке и 34 спирали - против часовой. Количества подобных спиралей называются в ботанике парастическими числами (parastichy numbers). Интересно то, что 34/21 = 1.619 что близко к Ф. Это не случайно.

Оказывается, у множества видов растений у здорового, неповрежденного цветка или розетки имеется тенденция к выбору в качестве парастических чисел двух соседних чисел следующего ряда:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Эта последовательность широко известна как последовательность Фибоначчи. Она начинается с двух единиц; каждое следующее число последовательности - сумма двух предшествующих. У ряда Фибоначчи много замечательных свойств, главным из которых для нас является то, что отношение двух соседних членов стремится к Ф. Этот замечательный факт напрямую вытекает из явной формулы для чисел ряда Фибоначчи, так называемой формулы Бине:

Как можно видеть, отношение двух соседних членов ряда Фибоначчи быстро стремится в Ф. На самом деле, это характерно для любого рекуррентного ряда, строящегося по формуле "каждый следующий член равен сумме двух предыдущих".

Откуда же члены последовательности Фибоначчи взялись в цветке?

Процесс формирования корзинки называется филлотаксисом. Внутри центральной части корзинки подсолнуха - меристемы - происходит деление зародышевых клеток, образующих сначала цветок, а потом и семечко. Сразу после рождения цветок начинает выталкиваться младшими братьями и сестрами в радиальном направлении от центра.

Закон движения единичного цветка в корзинке проще всего описать в радиальной системе координат - по радиусу и углу. Для цветка номер k из n рожденных меристемой, его радиальные координаты описываются примерно так:

Помимо n и k мы видим здесь два параметра - d и \alpha. d - некая постоянная величина, связанная с размерами цветка в соцветии.

Закон радиального выталкивания d*\sqrt{n-k} легко обосновать физически, приняв за внимание, что цветки соцветия приблизительно одинакового размера и должны покрывать собой всю свободную площадь корзинки. Интереснее закон направления \alpha * k . Он зависит от константы \alpha, которая для подсолнуха с высокой точностью равна \alpha = 137.5^{\circ}

Иными словами, порождая цветок, меристема задает ему направление движения, каждый раз меняя его это направление относительно предшествующего поворотом на 137.5^{\circ}.

то число, 137.5^{\circ}, неявным образом закодировано в геноме растения. Для того, что бы понять, что это и откуда оно берется, разделим его на 360^{\circ}, то есть вычислим, какую долю полного оборота оно составляет:

от где прячется золотое сечение! Но зачем оно нужно растению?

Для ответа на этот вопрос, обратимся к уникальному свойству числаФ- его разложению в цепную дробь.

Любое действительное число можно представить следующим способом:

Где a_0 -целое число; прочие a_k - натуральные числа. Такое представление называется цепной дробью. Если число - рациональное, его представление в виде цепной дроби насчитывает конечное число членов, и вычисляется посредством алгоритма Евклида. В противном случае, представление числа в виде цепной дроби выражается бесконечной последовательностью знаменателей. Например, знаменитое число \pi расписывается в виде цепной дроби вот так:

Наиболее важным свойством цепных дробей для математики является то, что они кодируют наилучшие рациональные приближения данного числа. В самом деле, попробуем "обрезать" дробь по одной из контурных линий. Мы получим рациональное число, приблизительно равное \pi. Утверждается, что для каждого из них не существует рационального числа с меньшим знаменателем, более близкого к \pi:

Сравните приближение \pi ≈ \frac{355}{113}≈ 3.1415929...и \pi ≈ \frac{3141592}{10000000}≈ 3.141592...

И в том и в другом случае мы получили 6 значимых цифр после запятой, но в одном случае знаменатель - 113, а в другом - 10000000. Разница, как говорится, налицо.

Теперь, наконец, разложим Фв цепную дробь. Получится следующее:

Ф = [1; 1,1,1,1,1...]

Рациональные приближения, полученные посредством обрезания этого представления, выглядят так:

\frac{3}{2} ; \frac{5}{3}; \frac{8}{5}; \frac{13}{8}; \frac{21}{13}; \frac{34}{21}; \frac{55}{34}; ...

Легко видеть, что это ни что иное, как отношения соседних членов ряда Фибоначчи. И вот теперь, сравнивая цепочку рациональных приближений числа Фс аналогичной цепочкой числа \piмы можем видеть главное математическое свойство пропорции золотого сечения.

Для любого достаточно большого n, у Фбольше рациональных приближений со знаменателем меньше чем n , чем у любого другого иррационального числа.

В самом деле. Приближая \pi, мы видим, что уже у седьмого приближения знаменатель вырос до 99532. УФзнаменатель седьмой дроби - 34. Алгоритм вычисления рационального приближения из частичного представления цепной дроби прост, и мы не будем его здесь приводить. Выведя его, легко видеть, что чем меньше числа в ряду, тем меньше будут представления, а натуральных чисел меньше, чем ряд из последовательных единиц, нельзя и представить. Одновременно с этим, Фявляется наиболее плохо приближенным числом из всех, в том смысле, что с ростом знаменателя число угаданных знаков приближения растет максимально медленно, насколько это возможно. Этот факт является прямым следствием из теоремы Гурвинца и его доказательство довольно занудно, так что мы не будем включать его в данную статью.

Суха теория, друзья, но древо жизни пышно зеленеет. Настало время сложить всё вышесказанное, и понять, как связаны: филлотаксис подсолнуха, угол 137.5, последовательность Фибоначчи, цепные дроби, рациональные приближения и фотограф Пит ван ден Бемб который снял с дрона, как горбатые киты в Антарктике рисуют в воде спираль Фибоначчи?

Ответ вас удивит - Х@Й ЕГО ЗНАЕТ, материал подготовлен при поддержке Сюда лучше не заходить

Кто дочитал тот молодец ;)