Да по сюжету фильма меч перешел по наследству. Но! стоит заметить, что меч Энакина отличается от ПЕРВОГО меча Люка (зелёный меч это второй). Отличий масса, но самым основным я считаю принцип крепления меча на поясе. Меч Люка, подвешан на поясе на крючке, за металическое ушко (слева на фото) Когда же меч Энакина крепился на поясе на специально оборудованное крепление, которое носили на ремне рыцари ордена джедаев во времена республики, о чём свидетельствует крепление на мече (фото с вправа)
Можно предположить, что за время между III и IV эпизодом Оби-Ван изменил конструкцию меча, поскольку всё что было связано с джедаями и их оружием было под строгим запретом во времена империи. В том числе и поясное крепление на ремень, ведь человек на ремне которого красуется джедайский артефакт, неприменно вызовет подозрения у имперцев.
Следовательно меч Энакина и его сына Люка разные.